Prepa HelpMines-Ponts 2021 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2021, filière PC, en 3 heures. Thème : Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Questions de cours et généralités sur les variables aléatoires. Espérance finie, cas des variables bornées, condition de dispersion D_alpha qui interdit l'espérance finie, variables symétriques et image par une fonction impaire.
- Deux sommes de séries. Étude d'une série de fonctions par une formule de Taylor et d'une intégrale à paramètre pour obtenir les sommes des séries de cos(n theta)/n et de sin(n theta)/n.
- Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Fonction t ↦ E(e^(itX)), continuité par le théorème du transfert, réécriture à l'aide des queues R_n = P(|X| ≥ n) et comportement au voisinage de 0 sous la condition D_alpha.
- Convergence simple de la suite des fonctions caractéristiques. Fonction caractéristique de la moyenne empirique M_n, convergence simple vers exp(-pi alpha |t| / 2) et lien avec la loi de Cauchy, sans convergence uniforme.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Nombres complexes et trigonométrie
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.