Mines-Ponts 2024 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2024, filière PC, en 3 heures. Thème : Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie 1 : résultats préliminaires. Fonctions à croissance lente, intégrabilité contre la densité gaussienne, définition de l'opérateur P_t par une intégrale, linéarité, continuité et limite quand t tend vers l'infini.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie 2 : dérivée de P_t(f). Dérivation sous le signe intégrale en t et en x et relation entre la dérivée en t de P_t(f) et l'opérateur L(f) = f'' - x f'.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie 3 : inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne. Entropie relative à la gaussienne, fonction S(t) = Ent(P_t(f)), continuité, valeurs aux bornes et intégration de sa dérivée pour établir l'inégalité.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Dérivabilité et convexité

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