Mines-Ponts 2022 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2022, filière PC, en 3 heures. Thème : Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• A. Fonctions L et P. Somme de la série des z^n/n sur le disque unité, propriété exp(L(z)) = 1/(1 - z) et définition de la fonction P comme produit infini.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie
• B. Développement asymptotique en variable réelle. Fonction q(x) = x - partie entière de x - 1/2, intégrales liées à la formule de Stirling et développement de ln P(e^(-t)) quand t tend vers 0.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• C. Développement de P en série entière. Nombres de partitions p_n, développement en série entière des produits finis puis de P, rayon de convergence et formule intégrale donnant p_n.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• D. Contrôle de P. Majoration du quotient |P(x e^(i theta)) / P(x)| et estimation de l'intégrale de la formule intégrale.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Dérivabilité et convexité
• E. Conclusion. Choix du paramètre t pour obtenir une majoration de p_n de l'ordre de exp(pi racine(2n/3)), proche de l'équivalent de Hardy et Ramanujan.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Nombres complexes et trigonométrie
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité

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