Mines-Ponts 2022 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2022, filière PC, en 3 heures. Thème : Le théorème matriciel de Kreiss.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1 Norme d'opérateur sur M_n(C). Existence du maximum de ||MX|| sur la sphère unité, expression de la norme d'opérateur et sous-multiplicativité.
  À revoir : Espaces vectoriels normés
• 2 L'ensemble B_n. Matrices dont les puissances sont bornées, spectre inclus dans le disque unité fermé et exemple montrant que la condition spectrale ne suffit pas.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Espaces vectoriels normés
• 3 Résolvante d'un élément de M_n(C). Coefficients de la résolvante comme fractions rationnelles, développement en série de matrices hors du disque et inégalité (|z| - 1) ||R_z(M)|| ≤ b(M).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Séries numériques et vectorielles, Espaces vectoriels normés
• 4 Variation totale et norme uniforme. Variation totale V(f) d'une fonction de classe C^1, absence de majoration générale par la norme uniforme et calcul de V(f) à l'aide des zéros de f'.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Dérivabilité et convexité
• 5 L'inégalité de Spijker. Pour f(t) = F(e^(it)) avec F rationnelle de degré n, comptage des solutions de f_u(t) = y par un polynôme et majoration V(f) ≤ 2 pi n ||f||.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie
• 6 La version de Spijker du théorème matriciel de Kreiss. Représentation intégrale de X^T M^k Y et majoration de sup ||M^k|| en fonction de la constante de résolvante b'(M).
  À revoir : Espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Espaces vectoriels normés
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Nombres complexes et trigonométrie

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