Mines-Ponts 2024 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2024, filière PC, en 3 heures. Thème : Problème inverse pour les matrices de distance euclidienne.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1 Matrices de Hadamard. Matrices à coefficients ±1 proportionnelles à une matrice orthogonale, opérations qui les conservent, ordre pair puis multiple de 4.
• 2 Quelques résultats sur les endomorphismes. Théorème de Courant-Fischer pour les valeurs propres d'un endomorphisme symétrique et factorisation M = B^T B d'une matrice symétrique positive.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• 3 Caractérisation des MDE. Applications réciproques entre matrices de distance et matrices de Gram, critère : D est une matrice de distance euclidienne si et seulement si -PDP/2 est positive.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• 4 Spectre des MDE. Somme nulle des valeurs propres d'une MDE, forme quadratique négative sur l'orthogonal du vecteur e et existence d'exactement une valeur propre strictement positive.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• 5 Problème inverse pour les MDE. Construction, à partir d'une matrice de Hadamard, d'une matrice de distance euclidienne de spectre prescrit (une valeur propre positive, somme nulle) et exemple d'ordre 4 de spectre {5, -1, -2, -2}.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire

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