Prepa HelpMines-Ponts 2026 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2026, filière PC, en 3 heures. Thème : Solutions périodiques d'équations différentielles.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie 1 : résultats généraux. Équation y'' + b(x) y = c(x) à coefficients 2pi-périodiques, structure des solutions bornées, translation par la période et critère de périodicité par les conditions en 0 et 2pi.
- Partie 2 : un exemple d'équation à coefficients constants. Cas y'' + w^2 y = cos x : solutions explicites, solutions bornées et existence de solutions périodiques selon un déterminant 2 x 2.
- Partie 3 : unicité lorsque la fonction b est négative. Pour b(x) = -(1 + cos x), convexité de g^2 pour une solution homogène, unicité de la solution bornée et lien avec la périodicité.
- Partie 4 : existence d'une solution périodique. Recherche d'une solution sous forme de série trigonométrique, famille de fonctions s_n, opérateur L injectif sur les polynômes trigonométriques et suite récurrente de coefficients.
- Partie 5 : un théorème général. Si une solution et sa dérivée sont bornées, une partie fermée bornée d'un espace de dimension finie et une borne inférieure atteinte donnent une solution périodique.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Équations différentielles linéaires
- Nombres complexes et trigonométrie
- Dérivabilité et convexité
- Séries numériques et vectorielles
- Espaces vectoriels normés
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