Mines-Ponts 2023 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2023, filière PC, en 3 heures. Thème : Chaîne de Markov en temps continu.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Préliminaires. Noyaux de Markov (matrices stochastiques), stabilité par produit, matrice H_t = e^(-t) somme des t^n K^n / n! et propriété H_(t+s) = H_t H_s par produit de Cauchy.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• Partie 1 : modélisation probabiliste. Système à N états soumis à des impulsions, suite des états, matrice de transition K et interprétation probabiliste de H_t.
• Partie 2 : étude d'un endomorphisme autoadjoint. Théorème spectral pour un endomorphisme autoadjoint positif dont 0 est valeur propre simple, plus petite valeur propre non nulle et projection sur le noyau.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Partie 3 : convergence de H_t[i,j]. Produit scalaire pondéré par une probabilité invariante, forme quadratique de type Dirichlet, équation différentielle vérifiée par t ↦ H_t X et convergence exponentielle vers la loi limite.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Équations différentielles linéaires

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Équations différentielles linéaires

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