Prepa HelpMines-Ponts 2021 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2021, filière PC, en 3 heures. Thème : Polynômes à racines toutes réelles.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Log-concavité des suites. Suites unimodulaires, log-concaves et ultra log-concaves, exemple des coefficients binomiaux.
- Polynômes réels à racines toutes réelles. Stabilité par dérivation grâce au théorème de Rolle, par passage au polynôme réciproque et par les opérateurs e^(ax) D e^(-ax), conséquences sur la log-concavité des coefficients.
- Quelques exemples. Polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle, racine carrée d'une matrice symétrique positive, valeurs propres réelles de AB et polynômes orthogonaux pour le produit scalaire intégral de poids e^(-x).
- Théorème de Hermite-Sylvester. Sommes de Newton des racines, famille libre de formes linéaires par les matrices de Vandermonde et forme quadratique positive qui caractérise les polynômes à racines toutes réelles.
- Suites multiplicatives et théorème de Polya-Schur. Opérateurs qui multiplient les coefficients par une suite et préservent les polynômes à racines réelles, caractérisation de ces suites par les polynômes somme des gamma_k C(n,k) X^k.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Dérivabilité et convexité
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Compléments d'algèbre linéaire
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