Mines-Ponts 2025 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2025, filière PC, en 3 heures. Thème : Étude des séries congruo-harmoniques alternées.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Préliminaires. Convergence des séries étudiées, calcul de S_(1,1) = ln 2 par une intégrale et expression de S_(1,q).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• 1 Expression de S_(p,q) sous la forme d'une intégrale. Intégrale à paramètre I_(p,q)(t), sommes partielles exprimées par des intégrales et passage à la limite.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles
• 2 Calcul des S_(p,q) dans trois cas particuliers. Cas p = q, p divise q et p > q, par décomposition en éléments simples de X^(q-1)/(1 + X^p) à l'aide des racines de l'unité.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Séries numériques et vectorielles
• 3 Quelques calculs de probabilités. Paramètres tirés au hasard dans [[1, n]], probabilités des cas favorables et équivalent H_n ~ ln n de la série harmonique.
  À revoir : Nombres réels et suites numériques, Séries numériques et vectorielles
• 4 Vitesse de convergence des S_(p,q). Équivalent du reste en 1/(2pn) par changement de variable dans l'intégrale et vitesse de convergence des sommes partielles.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Nombres complexes et trigonométrie
• Nombres réels et suites numériques

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