Topologie MP : normes équivalentes, ouverts, compacité

En topologie des espaces vectoriels normés, deux normes $N$ et $N'$ sont équivalentes s'il existe $\alpha, \beta > 0$ tels que $\alpha N \leq N' \leq \beta N$ ; elles ont alors les mêmes suites convergentes, les mêmes parties bornées, les mêmes ouverts et les mêmes fermés. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et les compacts sont exactement les fermés bornés. En dimension infinie, rien de cela n'est acquis, et chaque affirmation doit dire de quelle norme elle parle.

Cette topologie, avec la compacité, est au programme de MP au Maroc, de MP et MPI en France. En PSI et PC, la compacité, la norme d'opérateur et la connexité par arcs sont hors programme : on y dit « partie fermée et bornée d'un espace de dimension finie », et le chapitre à suivre est Espaces vectoriels normés. Avant tout raisonnement, une seule question : l'espace est-il de dimension finie ?

Que change la dimension de l'espace ?

Comment comparer deux normes ?

1. Regarder la dimension. Si elle est finie, écrire que les normes sont équivalentes et s'arrêter.
2. Établir une inégalité. Chercher $N \leq \beta N'$ par une majoration terme à terme, par Cauchy-Schwarz ou en majorant une intégrale.
3. Tester l'autre sens. Tenter l'inégalité inverse. Si elle résiste, chercher une suite de vecteurs non nuls pour laquelle le quotient des deux normes n'est pas borné.
4. Conclure. Deux inégalités donnent l'équivalence. Une seule donne une domination, jamais une équivalence.

Comment montrer qu'une partie est ouverte ou fermée ?

• L'image réciproque. Si $f$ est continue de $E$ dans $\mathbb{R}$, $\{f \leq c\}$ et $\{f = c\}$ sont fermés, $\{f < c\}$ et $\{f \neq c\}$ sont ouverts.
• Les suites. $A$ est fermée si et seulement si toute suite de $A$ qui converge a sa limite dans $A$.
• Les boules. $A$ est ouverte si chaque point de $A$ est le centre d'une boule contenue dans $A$.

Ouvert et fermé ne sont pas des contraires : $]0, 1]$ n'est ni l'un ni l'autre. Et si deux normes ne sont pas équivalentes, leurs fermés ne sont jamais tous les mêmes, comme l'exercice suivant le montre sur un exemple.

Exercice 1 : deux normes, deux familles de fermés

Sur $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$, on pose $N(f) = \int_0^1 t\,|f(t)|\,dt$ et $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt$. Montrer que $N$ est une norme, comparer $N$ et $\|\cdot\|_1$, puis trouver une partie fermée pour $\|\cdot\|_1$ qui ne l'est pas pour $N$.

$N$ est une norme. L'homogénéité vient de la linéarité de l'intégrale, l'inégalité triangulaire de $t\,|f + g| \leq t\,|f| + t\,|g|$. Séparation : si $N(f) = 0$, la fonction continue positive $t \mapsto t\,|f(t)|$ est d'intégrale nulle, donc nulle. Ainsi $f$ s'annule sur $]0, 1]$, et $f(0) = 0$ par continuité.

Une inégalité. Comme $t \leq 1$ sur $[0, 1]$, on a $N \leq \|\cdot\|_1$.

L'autre sens est faux. Pour $f_n(t) = (1 - t)^n$, le changement de variable $u = 1 - t$ donne

$\|f_n\|_1 = \frac{1}{n + 1}, \qquad N(f_n) = \int_0^1 (1 - u)\,u^n\,du = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1)(n + 2)}.$

Le quotient $\|f_n\|_1 / N(f_n) = n + 2$ n'est pas borné : aucune constante $\beta$ ne donne $\|\cdot\|_1 \leq \beta N$. Les deux normes ne sont pas équivalentes.

Une partie fermée pour l'une, pas pour l'autre. Soit $F = \{f \in E \ ;\ \|f\|_1 \geq 1\}$. L'application $f \mapsto \|f\|_1$ est $1$-lipschitzienne pour $\|\cdot\|_1$, donc continue, et $F$ est l'image réciproque de $[1, +\infty[$ : elle est fermée pour $\|\cdot\|_1$. Posons $h_n = (n + 1) f_n$. Alors $\|h_n\|_1 = 1$, donc $h_n \in F$, et $N(h_n) = \frac{1}{n + 2} \to 0$. Pour $N$, la suite $(h_n)$ de $F$ tend vers la fonction nulle, qui n'est pas dans $F$ : $F$ n'est pas fermée pour $N$.

Contrôle. Pour $n = 1$ : $\|f_1\|_1 = \frac12$ et $N(f_1) = \frac16$, de quotient $3 = n + 2$.

Exercice 2 : la compacité pour obtenir un minimum

Soit $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \ ;\ xy = 1\}$ et $g(x, y) = x^2 + 4y^2$. Montrer que $g$ atteint un minimum sur $A$, puis le calculer.

$A$ est fermée, image réciproque de $\{1\}$ par l'application continue $(x, y) \mapsto xy$. Elle n'est pas bornée, donc le théorème des bornes atteintes ne s'applique pas directement.

Se ramener à un compact. Le point $(1, 1)$ est dans $A$ et $g(1, 1) = 5$. Si $x^2 + y^2 > 5$, alors $g(x, y) \geq x^2 + y^2 > 5$. Soit $K = A \cap \bar B(0, \sqrt 5)$, pour la norme euclidienne. $K$ est fermée et bornée dans $\mathbb{R}^2$, donc compacte, et non vide car elle contient $(1, 1)$. La fonction continue $g$ y atteint un minimum, au plus égal à $5$. Hors de $K$, $g$ dépasse $5$ : ce minimum est celui de $g$ sur $A$.

Le calcul. Sur $A$, $g(x, y) = (x - 2y)^2 + 4xy = (x - 2y)^2 + 4 \geq 4$, avec égalité si et seulement si $x = 2y$, soit $(x, y) = \pm\big(\sqrt 2, \frac{1}{\sqrt 2}\big)$. Le minimum vaut $4$.

Quand aucun calcul direct n'aboutit, l'argument de compacité donne l'existence du minimum sans le calculer.

Trois points à vérifier sur ta copie

1. La norme est nommée. Chaque « borné », « converge » ou « fermé » dit pour quelle norme, sauf en dimension finie, où tu écris que le choix est indifférent.
2. La dimension est justifiée. Avant « fermé borné donc compact » ou « linéaire donc continue », vérifie que l'espace concerné, celui de départ pour une application, est de dimension finie.
3. Les hypothèses de compacité sont écrites. Avant « bornes atteintes », note que la partie est compacte et non vide, et que la fonction est continue à valeurs réelles.

Quelles sont les erreurs classiques ?

• Image directe au lieu d'image réciproque. $\mathbb{R}$ est fermé et $\arctan(\mathbb{R})$ ne l'est pas. Par une application continue, l'image réciproque conserve ouverts et fermés, et l'image directe conserve les compacts.
• Une inégalité stricte passée à la limite. $u_n > 0$ et $u_n \to \ell$ donnent seulement $\ell \geq 0$.

Questions fréquentes

Fermé borné implique-t-il compact en dimension infinie ?

Non. Dans $\mathbb{R}[X]$ muni de $N(P) = \sum |a_k|$, la sphère unité est fermée et bornée. Elle contient la suite $(X^n)$, et $N(X^n - X^m) = 2$ pour $n \neq m$ : aucune suite extraite ne converge.

Faut-il savoir démontrer l'équivalence des normes en dimension finie ?

Non, le résultat est admis et sa démonstration n'est pas exigible. Il faut en revanche savoir s'en servir pour choisir la norme la plus commode.

Pour aller plus loin

Dans le sujet CNC MP 2023 de Mathématiques II, $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ est fermé et borné, et la distance à ce groupe est atteinte.

Le chapitre « Topologie des espaces vectoriels normés » de maths spé, pour MP et MPI, couvre aussi la densité, la norme d'opérateur et la connexité par arcs, avec 41 exercices corrigés ; sa page publique montre un extrait et le plan. Il s'ouvre en entier avec l'essai gratuit. Pour une question sur un exercice ou pour demander l'accès complet, tu peux écrire sur WhatsApp.

Sujets de concours sur ce thème

• CCINP 2026 PSI, Mathématiques
• CNC 2026 PSI, Mathématiques I
• CNC 2025 PSI, Mathématiques II
• CCINP 2025 MP, Mathématiques 1
• CNC 2025 MP, Mathématiques II
• CCINP 2024 PSI, Mathématiques