CCINP 2026 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2026, filière PSI, en 4 heures. Thème : Lancers à pile ou face et lois discrètes, théorème de Bohr-Mollerup sur la fonction Gamma, endomorphismes diagonaux par blocs de taille 1 ou 2.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : lancers à pile ou face, lois discrètes. Dérivées successives de 1/(1 - x) et somme d'une série qui s'en déduit. Lancers indépendants d'une pièce : X compte les lancers jusqu'au premier Pile, Y le nombre de Pile sur une seconde série de X lancers. Loi de X, loi conditionnelle de Y sachant X = n, expression de P(Y = k) à l'aide de ces probabilités, puis calcul de P(Y = 0) et de P(Y = k).
• Exercice 2 : une caractérisation de la fonction Gamma. Existence : Gamma bien définie et strictement positive, relation fonctionnelle, domination, classe C^2 avec Gamma' et Gamma'' sous forme intégrale, produit scalaire sur C^0([alpha,beta]), inégalité de Cauchy-Schwarz et convexité de ln o Gamma. Unicité : à l'aide d'un lemme sur les pentes d'une fonction convexe, expression de f sur ]0,1] comme limite d'un quotient faisant intervenir n^x et le produit x(x+1)...(x+n), puis f = Gamma.
• Problème, partie I : deux exemples. Ensemble D des endomorphismes admettant une matrice diagonale par blocs de taille 1 ou 2. Sur K_2[X], pour u : P -> X^2 P'' + P' : matrice, diagonalisabilité, Ker u^2, base réduite et appartenance à D. Pour v : P -> P' : matrice, sous-espaces stables de dimension 1 et 2, non-appartenance à D, puis question de la structure vectorielle de D.
• Problème, partie II : le cas des endomorphismes nilpotents. Cas n = 1 et n = 2, famille libre (u^(k-1)(x), ..., u(x), x), inclusion de D inter N dans N_2, Im u inclus dans Ker u, base de E adaptée, matrice formée de blocs J de taille 2, égalité N_2 = D inter N.
• Problème, partie III : un critère d'appartenance à D. Isomorphisme phi et relation (X - a)^2 A + (X - b)^2 B = 1, intersection de noyaux, somme directe des Ker(u - alpha_i Id) et des Ker(u - beta_j Id)^2 par récurrence, base de K_(p+2q-1)[X] formée de quotients de P, décomposition de E lorsque P annule u, conclusion u dans D.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles
• Espaces vectoriels normés
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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