CCINP 2021 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2021, filière PSI, en 4 heures. Thème : Extremums en deux variables, famille de séries entières, logarithme complexe et det(I_n + C conj(C)) dans R+.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : étude d'extremums. Points critiques de f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy sur R^2, étude locale en (0,0), minoration de g(u,v) = f(1+u,1+v) - f(1,1) en coordonnées polaires, conclusion locale en (1,1) et existence d'extremums globaux.
• Problème 1, partie I : quelques propriétés des fonctions f_alpha. Rayon de convergence et domaine de définition de la somme f_alpha des x^n/n^alpha selon alpha, signe, cas alpha = 0, -1 et 1, continuité pour alpha > 1, limite en 1 à gauche pour alpha <= 1, puis variable aléatoire de fonction génératrice lambda f_alpha : condition d'existence de l'espérance et sa valeur.
• Problème 1, partie II : un logarithme complexe. Série entière S(z) égale à l'opposé de la somme des (-z)^n/n, rayon de convergence, restriction g(t) = S(t z_0) à une variable réelle, dérivation, équation différentielle linéaire vérifiée par exp o g et identité exp(S(z_0)) = z_0 + 1.
• Problème 1, partie III : un équivalent de f_alpha(x) quand x tend vers 1, dans le cas où alpha est dans ]0,1[. Intégrale I(x) de x^t/t^alpha sur ]0,+infini[ exprimée avec ln(x), alpha et Gamma(1-alpha), décroissance de t -> x^t/t^alpha, encadrement de f_alpha(x) par comparaison avec des intégrales et équivalent de f_alpha(x).
• Problème 2, partie I : trois cas particuliers. Minoration de det(I_n + C conj(C)) pour C diagonale complexe et de det(I_n + C^2) pour C symétrique réelle, avec cas d'égalité, conjugué d'un déterminant par récurrence, puis écriture de det(I_n + C^2) comme carré du module de det(C - iI_n) pour C réelle.
• Problème 2, partie II : le cas général. Produit par blocs et matrice C_0, matrices par blocs semblables, polynôme caractéristique de C_0 à coefficients réels, application antilinéaire Omega de carré -id, plans stables, images et dimension des espaces F_lambda = ker((lambda I_2n - C_0)^alpha_lambda), puis signe de det(C_0).

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Équations différentielles linéaires
• Nombres complexes et trigonométrie
• Calcul infinitésimal du physicien : dérivées et différentielles

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