CCINP 2022 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2022, filière PSI, en 4 heures. Thème : Intégrale de Gauss, vers le théorème de Moivre-Laplace, matrices de rang 1, matrices de Householder et factorisation QR.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : convergence d'une suite. Intégrales I_m de (1 - t^2)^(m/2) sur [0,1] : décroissance, relation de récurrence, lien avec les nombres a_n,n, proportionnels au coefficient binomial central, encadrement, convergence de (a_n,n) et équivalent de I_2n.
• Problème 1, partie II : calcul d'une intégrale de Gauss. Changement de variable dans J_n, convergence simple de la suite de fonctions (u_n), majoration par exp(-t^2) à partir de 1 + x <= exp(x), convergence et valeur exacte de l'intégrale de Gauss K.
• Problème 1, partie III : calcul d'une majoration. Écriture de (1-x)/(1+x) sous la forme exp(-2x + g(x)) avec |g(x)| <= M x^3 sur [0,1/2], g étant exprimée par une intégrale, puis estimation du quotient a_k,n/a_n,n écrit comme produit.
• Problème 1, partie IV : vers le théorème de Moivre-Laplace. Loi, espérance et variance de Z_n construite sur une variable de loi B(2n,1/2), fonction en escalier h_n, représentation de h_2, maximum de h_n, équivalents liés à k_n et convergence simple de (h_n) avec sa limite.
• Problème 2, partie I : matrices de rang 1. Écriture A = XY^T d'une matrice de rang 1 et réciproque, relation A^2 = tr(A)A, expression de A^k par récurrence, conditions sur la trace pour que A soit nilpotente ou diagonalisable.
• Problème 2, partie II : matrices de Householder. Exemple en taille 3 : polynôme annulateur, éléments propres, orthogonalité des sous-espaces propres, diagonalisation par une matrice de O_3(R), interprétation géométrique. Cas général : P_V projection orthogonale sur Vect(V), rang et trace, Q_V symétrique, orthogonale et symétrie orthogonale par rapport à Vect(V)^perp.
• Problème 2, partie III : factorisation QR. Caractérisation de D^perp pour D = Vect(U - V), décomposition de U, calcul de Q_(U-V) U, matrice orthogonale rendant QU colinéaire à V, puis existence par récurrence sur n d'une matrice orthogonale Q telle que QA soit triangulaire supérieure.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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