CCINP 2025 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2025, filière PSI, en 4 heures. Thème : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi de Poisson, série de Fourier, inégalité et matrices de Hadamard.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : probabilités, majorations pour une loi de Poisson. Espérance et variance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, fonction génératrice G_X(t) = exp(lambda(t-1)), majoration de P(X >= alpha) par G_X(t)/t^alpha pour t >= 1 et comparaison de deux majorations de P(X >= 2 lambda).
• Problème 1, partie I : calcul des coefficients de Fourier d'une fonction. Intégrales de fonctions paires et impaires, prolongement impair et 2pi-périodique g de (pi - x)/2, tracé de sa courbe et calcul des coefficients de Fourier réels a_n(g) et b_n(g).
• Problème 1, partie II : convergence d'une série de Fourier. Minoration de |1 - t exp(ix)|, limite d'une intégrale, somme géométrique complexe, convergence de la série des exp(inx)/n et écriture intégrale de sa somme, calcul de I(lambda) avec arctan, puis égalité de g et de la somme de sa série de Fourier.
• Problème 2, partie I : inégalité arithmético-géométrique. Inégalité exp(x) >= 1 + x avec cas d'égalité, majoration de lambda_i/A, inégalité G <= A et cas d'égalité.
• Problème 2, partie II : inégalité de Hadamard. Pour S symétrique définie positive : déterminant, trace et valeurs propres, (det S)^(1/n) <= Tr(S)/n avec cas d'égalité, normalisation D^(-1) S D^(-1), majoration de det(S) par le produit des s_j,j. Passage à M^T M, inégalité de Hadamard pour toute matrice avec cas d'égalité, cas de coefficients de module au plus 1.
• Problème 2, partie III : matrices de Hadamard. Ensemble H_n : inverse d'un élément, construction par blocs d'un élément de H_2n et puissances de 2, puis condition nécessaire sur n par produits scalaires de colonnes et système linéaire de 4 équations : n pair, puis multiple de 4.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Dérivabilité et convexité
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres complexes et trigonométrie
• Séries numériques et vectorielles
• Compléments d'algèbre linéaire
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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