CCINP 2024 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2024, filière PSI, en 4 heures. Thème : File d'attente et fonctions génératrices, équivalent de Stirling et fonction Gamma, blocs de Jordan et systèmes différentiels.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : temps d'arrivée du n-ième client. Loi de T_1, probabilité qu'aucun client n'arrive, fonction génératrice avec rayon et somme, espérance et variance, puis espérance, variance et fonction génératrice de D_n, dont la loi se déduit du développement en série entière de (1 + x)^alpha.
• Problème 1, partie II.1 : une suite récurrente. Suite z_(n+1) = exp(a(z_n - 1)) dans ]0,1[ : monotonie, convergence vers un point fixe, étude de ln(x) - a(x - 1) et limite selon que a <= 1 ou a > 1.
• Problème 1, partie II.2 : groupes de clients. Durées de service de loi de Poisson et groupes de clients successifs : loi du nombre d'arrivées, loi de V_1 par probabilités conditionnelles, relation z_(n+1) = exp(lambda p (z_n - 1)) pour z_n = P(V_n = 0), limite suivant lambda p et interprétation.
• Exercice : équivalent de Stirling. Fonction Gamma : convergence, relation fonctionnelle, valeur en n + 1/2, série des rho_k comparant ln k à une intégrale et développement de ln Gamma(n). Fonctions Gamma_n(x), convergence dominée, expression de Gamma(x) comme limite d'un quotient faisant intervenir n^x et le produit x(x+1)...(x+n), et détermination de la constante, exp(c) = sqrt(2 pi).
• Problème 2, partie I : irréductibilité de J_lambda. Puissances de J_0 et indice de nilpotence, spectre et sous-espace propre de u_lambda, sous-espaces stables par u_lambda et par u_0, matrice dans une base adaptée, polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit, e_p dans tout sous-espace stable non nul et absence de décomposition en deux sous-espaces stables non nuls.
• Problème 2, partie II : stabilité du système linéaire associé. Système X' = J_lambda X : solutions issues d'un vecteur propre, dérivation de t -> exp(tJ_lambda), inverse exp(-tJ_lambda), forme générale des solutions, inégalité ||AX|| <= N(A)||X|| et caractère borné des solutions sur R+ selon le signe de lambda.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Suites récurrentes
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Espaces vectoriels normés

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