CCINP 2023 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2023, filière PSI, en 4 heures. Thème : Fonction de Bessel, marche aléatoire sur Z, limites de puissances de matrices et méthode de Gauss-Seidel.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : fonction de Bessel. Fonction f définie par l'intégrale de cos(x sin(t)) sur [0,pi] : classe C^2, équation différentielle xy'' + y' + xy = 0, recherche d'une solution développable en série entière, interversion série-intégrale, unicité et expression en fonction de n des intégrales W_n de sin^(2n)(t).
• Problème 1, partie I : un développement en série entière. Développement de (1 + x)^alpha avec son rayon de convergence et expression de 1/sqrt(1 - x) comme somme d'une série entière à coefficients binomiaux.
• Problème 1, partie II : probabilité de retour à l'origine. Loi de (X_t + 1)/2, loi binomiale de leur somme, expression de u_n = P(S_n = 0), limite de (u_2n) selon p à l'aide de la formule de Stirling et interprétation.
• Problème 1, partie III : nombre de passages par l'origine. Variables O_2j et T_n, calcul de E(T_n), limite pour p différent de 1/2 à l'aide du développement de la partie I, formule par récurrence et limite pour p = 1/2, interprétation.
• Problème 2, partie I : diagonalisation et puissances d'une matrice particulière. Matrice M(a,b) de diagonale b et d'autres coefficients a : diagonalisabilité, vecteur propre, polynôme caractéristique, valeurs propres et multiplicités, polynôme annulateur de degré 2, reste de la division de X^k, expression de M(a,b)^k et limite de la suite des puissances.
• Problème 2, partie II : limite des puissances d'une matrice. Endomorphisme de C^n dont les valeurs propres sont de module strictement inférieur à 1 : récurrence sur les images u^k(e_i) dans le cas d'une matrice triangulaire supérieure, puis convergence de A^k vers 0 pour une matrice quelconque.
• Problème 2, partie III : application à la méthode de Gauss-Seidel. Matrice à diagonale strictement dominante, décomposition A = M - F, suite X_(k+1) = BX_k + M^(-1)Y avec B = M^(-1)F, majoration du module des valeurs propres de B et convergence de la suite vers la solution de AX = Y.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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