CCINP 2020 PSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2020, filière PSI, en 4 heures. Thème : Transformée de Laplace du sinus cardinal, formule de Viète et matrices de Kac.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal. Intégrales F(x) de sin(t) exp(-tx)/t, G(x) de exp(-tx) sin(t) et H(x) de exp(-tx) cos(t) sur ]0,+infini[ : existence, limite de F en +infini, classe C^1 de F, calcul de H(x) + iG(x), puis expression de F et valeur de F(1).
• Problème 1, partie II : autour de la formule de Viète. Produit des cos(t/2^k) calculé puis linéarisé par récurrence, passage à la limite sous l'intégrale pour obtenir pi/4 comme limite d'une somme, puis seconde preuve de ce résultat par une somme de Riemann et une majoration de l'écart entre deux sommes.
• Problème 2, partie I : matrices de Kac en dimension 3. Polynômes caractéristiques de deux matrices A et B de taille 3, factorisation dans R[X] et C[X], diagonalisabilité sur R et sur C, dimension des espaces propres, puis calcul de D^(-1)AD et de Delta^(-1)A Delta pour deux matrices diagonales.
• Problème 2, partie II : étude d'un endomorphisme. Espace V_n engendré par les fonctions cos^k sin^(n-k), matrice B_n de la dérivation dans cette base, décomposition des fonctions exp(i(2k-n)x) par le binôme de Newton, diagonalisabilité, valeurs propres, automorphisme selon n et espace propre Ker(B_n - i n I_(n+1)).
• Problème 2, partie III : les matrices de Kac de taille n + 1. Matrice tridiagonale A_n, produits par une matrice diagonale, relation D_n^(-1) A_n D_n = -iB_n et lien entre polynômes caractéristiques, diagonalisabilité de A_n sur R, valeurs propres 2k - n et espace propre de la valeur propre n.
• Problème 2, partie IV : un peu de probabilités. Échanges de boules entre deux urnes : nature de la famille des événements (N_k = l), probabilités conditionnelles de transition, relation Z_k = (1/n^k) A_n^k Z_0 pour la loi de N_k, loi initiale pi de N_0, conservation de cette loi au cours du temps et unicité de la loi qui a cette propriété.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres complexes et trigonométrie
• Compléments d'algèbre linéaire
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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