CCINP 2022 TPC Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2022, filière TPC, en 4 heures. Thème : Polynômes orthogonaux sur [0,1], suite d'intégrales et série, durée de vie de machines.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : un endomorphisme de R_n[X]. Endomorphisme différentiel P -> (X - X^2)P'' + (1 - 2X)P', sa matrice, produit scalaire intégral sur [0,1], diagonalisation pour n = 2, base orthogonale de polynômes, projection orthogonale et distance de X^2 à R_1[X].
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Exercice 2 : une suite d'intégrales. Suite des intégrales de (1/(1+t^3))^n sur [0,1] : monotonie et convergence, nature de la série des u_n par un équivalent, puis convergence de la série des u_n/n à l'aide d'une intégration par parties et de la somme des 1/(n 2^n) égale à ln(2).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• Exercice 3 : pannes de machines. Lois géométriques sans mémoire des dates de panne de N machines, loi du jour où la dernière tombe en panne, espérance écrite comme une série et encadrement par comparaison série-intégrale, d'où un équivalent quand N tend vers +infini.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire
• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque

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