Prepa HelpCCINP 2024 TPC Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2024, filière TPC, en 4 heures. Thème : Drapeaux de plage, série de Fourier et polynômes de Tchebychev.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : couleur des drapeaux de baignade. Chaîne de trois états modélisée par une matrice stochastique : probabilités du jour suivant, valeurs propres et sous-espaces propres, trigonalisation, expressions explicites des probabilités et couleur la plus probable à long terme.
- Exercice 2 : série de Fourier de x(pi - x). Fonction impaire 2pi-périodique : coefficients de Fourier, convergence de la série, puis sommes de trois séries numériques, dont celle des (-1)^k/(2k+1)^3, et usage du théorème de Parseval.
- Problème, parties A et B : préliminaires et produit scalaire. Fonction arccos et formules de trigonométrie, puis produit scalaire intégral sur R_n[X] avec le poids 1/racine(1 - t^2).
- Problème, parties C et D : polynômes de Tchebychev. Fonctions cos(n arccos x), relation de récurrence, polynômes T_n de degré n formant une base de R_n[X], puis base orthogonale pour le produit scalaire de la partie B.
- Problème, partie E : minimiser une intégrale. Borne inférieure d'une intégrale à poids vue comme une distance à R_1[X] : base orthonormale, projection orthogonale de X^2 et valeur du minimum.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Nombres complexes et trigonométrie
- Compléments d'algèbre linéaire
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