CCINP 2023 TPC Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2023, filière TPC, en 4 heures. Thème : Intégrale de Dirichlet et endomorphisme défini par blocs.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : nature d'intégrales généralisées. Convergence des intégrales de sin(pi x)/x^a sur ]0,1] et sur [1,+infini[ selon a, avec une intégration par parties pour la semi-convergence.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème 1, partie II : étude d'une série numérique. Série alternée d'intégrales sur [0,1] : convergence et limite des sommes partielles exprimée par une intégrale généralisée.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème 1, partie III : résolution d'une équation différentielle. Équation y'' + pi^2 y = pi/x sur ]0,+infini[ : solutions de l'équation homogène, structure des solutions et solution particulière construite avec des intégrales généralisées.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème 1, partie IV : calcul de l'intégrale de sin(pi t)/t. Fonction définie par une intégrale à paramètre, de classe C^2, solution de l'équation différentielle précédente, limites et valeur de l'intégrale de Dirichlet.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Équations différentielles linéaires
• Problème 2, parties I et II : préliminaires et questions de cours. Une symétrie vectorielle de R^3 et ses éléments caractéristiques, une application linéaire bijective et son inverse, puis sous-espaces supplémentaires et concaténation de bases.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire
• Problème 2, parties III et IV : un endomorphisme défini par ses restrictions. Endomorphisme d'un espace E = F + G construit à partir d'une symétrie de F et d'un isomorphisme de F sur G : injectivité, vecteurs propres, diagonalisation, puis application à un cas de dimension 6.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires
• Compléments d'algèbre linéaire
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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