CNC 2021 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2021, filière PSI, en 4 heures. Thème : Intégrales, constante d'Euler et loi de Gumbel.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Intégrales de x^n e^(−x) sur [0,+∞[ : convergence, relation de récurrence par intégration par parties et valeur n!, puis espérance et variance d'une variable à densité.
• Partie 1 : développement asymptotique de la suite (Hn). Sommes partielles de la série harmonique, constante d'Euler et développement asymptotique.
• Partie 2 : deux exemples de séries de fonctions. Étude de la fonction zêta de Riemann sur ]1,+∞[ et d'une seconde série de fonctions.
• Partie 3 : calcul d'une intégrale. Calcul de l'intégrale de (−ln u)e^(−u) sur ]0,+∞[ et lien avec la constante d'Euler.
• Partie 4 : application à la loi de Gumbel. Densité exp(−t − e^(−t)), fonction de répartition et espérance, puis loi limite du maximum de n variables exponentielles indépendantes, diminué de ln n : la loi de Gumbel.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Nombres réels et suites numériques

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