Prepa HelpMines-Ponts 2026 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2026, filière PSI, en 3 heures. Thème : Sommes d'endomorphismes de carré nul.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie A : réduction des endomorphismes de carré nul. Valeur propre nulle et trace nulle, majoration du rang par n/2, base adaptée et forme réduite par blocs avec un entier m unique.
- Partie B : somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul. Matrices élémentaires de carré nul et matrices F_(i,j), génération de l'hyperplan des matrices de trace nulle, d'où l'égalité avec l'ensemble des sommes d'endomorphismes de carré nul.
- Partie C : somme de trois endomorphismes de carré nul. À l'aide d'un théorème de Wang et Wu admis, exemple d'endomorphisme de trace nulle à grand sous-espace propre pour la valeur 1 qui n'est pas somme de trois endomorphismes de carré nul.
- Partie D : intermède, matrices de Hessenberg. Mineurs de xI_n - A pour une matrice de Hessenberg régulière, choix d'une dernière colonne réalisant un polynôme caractéristique donné, vecteur cyclique et similitude avec J_n quand le polynôme caractéristique est X^n.
- Partie E : somme de quatre endomorphismes de carré nul. J_n somme de deux matrices de carré nul, réduction de toute matrice non scalaire à une forme presque triangulaire supérieure et conclusion : tout endomorphisme de trace nulle est somme de quatre endomorphismes de carré nul.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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