Prepa HelpMines-Ponts 2025 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2025, filière PSI, en 3 heures. Thème : Matrices semblables à leur inverse.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie 1 : polynômes réciproques. Caractérisation des polynômes réciproques par la symétrie des coefficients, racines inverses avec même multiplicité, polynômes antiréciproques et produit des racines égal à 1 ou -1.
- Partie 2 : le cas diagonalisable. Lien entre les polynômes caractéristiques de A et de A^-1, une matrice semblable à son inverse a un polynôme caractéristique réciproque ou antiréciproque, réciproque dans le cas diagonalisable et contre-exemple non diagonalisable.
- Partie 3 : produits de matrices de symétries. Un produit de deux symétries est semblable à son inverse, invariance par similitude et construction par blocs lorsque C est semblable à B^-1.
- Partie 4 : la matrice J_n(lambda). Base adaptée à un nilpotent d'indice n, inverse de lambda I_n + N, similitude de J_n(lambda)^-1 avec J_n(1/lambda) et réalisation de J_n(1) comme produit de deux symétries à l'aide d'endomorphismes de C_(n-1)[X].
- Partie 5 : une caractérisation des matrices semblables à leur inverse. En admettant la réduction de Jordan, toute matrice semblable à son inverse est produit de deux matrices de symétries.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Nombres complexes et trigonométrie
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
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