Prepa HelpMines-Ponts 2025 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2025, filière PSI, en 3 heures. Thème : Modèle SIR de propagation d'épidémie et séries de Dirichlet.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : linéarisation de (E). Résolution de l'équation linéarisée u' + u + 1 = (1 + u)/2 avec u(0) = 0, limite en l'infini et solutions constantes de l'équation non linéaire y' + y + 1 = e^y/2.
- Partie II : séries de Dirichlet. Séries de fonctions a_n e^(-lambda_n x), convergence uniforme sur R+, continuité, régularité C^k, valeurs en 0 et à l'infini, et unicité des coefficients.
- Partie III : relations sur les coefficients de la série de Dirichlet. Solution de l'équation écrite comme série de Dirichlet, dérivées successives de e^y en 0 et relation de récurrence entre les moments b_k.
- Partie IV : approximation de la solution y. Majoration de l'erreur de troncature et système linéaire de type Vandermonde donnant les coefficients a_1, ..., a_N.
- Partie V : modèle de propagation d'épidémie SIR. Système différentiel non linéaire SIR, positivité de S, équation vérifiée par ln(2S) et convergence uniforme de l'approximation de S.
- Partie VI : modèle probabiliste. Modèle discret de contagion au jour le jour : probabilité d'infection, espérances conditionnelles, loi binomiale des nouvelles infections et équations sur les espérances des accroissements.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Équations différentielles linéaires
- Dérivabilité et convexité
- Séries numériques et vectorielles
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Compléments d'algèbre linéaire
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
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