Mines-Ponts 2021 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2021, filière PSI, en 3 heures. Thème : Noyaux de type positif et théorème de Mercer.

Lire le sujet 7 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (0,5 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Quelques résultats préliminaires. Forme quadratique X^T A X et valeurs propres positives d'une matrice symétrique positive, dérivation d'une intégrale fonction de sa borne, interversion des intégrales (Fubini) et convergence des sommes de Riemann doubles.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Noyaux de type positif. Définition par les matrices de covariance, exemples tirés d'un produit scalaire, propriété de représentation (R) dans le cas fini par diagonalisation, et noyau min(x, y) réalisé dans un espace de fonctions muni de l'intégrale des dérivées.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Opérateurs à noyau. Endomorphisme intégral associé à un noyau continu, continuité et symétrie, positivité des valeurs propres, résolution du problème aux limites g'' = -f, g(0) = g'(1) = 0, éléments propres du noyau min, convergence uniforme du développement spectral, formule de la trace et calcul de la somme des 1/(k + 1/2)^2.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Équations différentielles linéaires
• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.