Prepa HelpMines-Ponts 2022 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2022, filière PSI, en 3 heures. Thème : Matrices de Hurwitz et stabilité des systèmes différentiels linéaires.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie 1 : matrices semi-simples. Matrices réelles diagonalisables sur C, exemples en taille 2, réduction réelle à une matrice presque diagonale formée de blocs (a b ; -b a).
- Partie 2 : une caractérisation des matrices diagonalisables de M_n(C). Un endomorphisme diagonalisable donne à tout sous-espace un supplémentaire stable, et la réciproque est établie par l'absurde.
- Partie 3 : polynômes de Hurwitz. Polynômes réels à racines de partie réelle strictement négative, signe des coefficients, diviseurs, produit de polynômes à coefficients positifs et critère portant sur P et sur le polynôme des sommes de racines.
- Partie 4 : système différentiel de matrice associée semi-simple. Changement de base dans X' = MX, résolution complexe en taille 2, décroissance exponentielle sous une condition de dissipativité et équivalence entre polynôme caractéristique de Hurwitz et convergence des solutions vers 0.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Nombres complexes et trigonométrie
- Compléments d'algèbre linéaire
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Équations différentielles linéaires
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.