Prepa HelpMines-Ponts 2022 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2022, filière PSI, en 3 heures. Thème : Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie A : fonctions L et P. Série des z^n/n sur le disque unité, relation exp(L(z)) = 1/(1 - z) obtenue par une fonction constante, et définition de P comme limite des produits des 1/(1 - z^n).
- Partie B : développement asymptotique en variable réelle. Fonction q(x) = x - partie entière - 1/2, intégrales impropres, formule de Stirling sous forme intégrale, série alternée de majoration et développement de ln P(e^-t) quand t tend vers 0+.
- Partie C : développement de P en série entière. Définition combinatoire du nombre p_n de partitions, produit de séries géométriques, rayon de convergence et formule intégrale de Cauchy donnant p_n.
- Partie D : contrôle de P. Majorations de |P(x e^(i theta))/P(x)| par des exponentielles, minoration 1 - cos(theta) >= alpha theta^2 et estimation en O(t^(3/2)) d'une intégrale oscillante.
- Partie E : conclusion. Choix du paramètre t en fonction de n pour obtenir la majoration de p_n en exp(pi racine(2n/3))/n, proche de l'équivalent de Hardy et Ramanujan.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Nombres complexes et trigonométrie
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Nombres réels et suites numériques
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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