Prepa HelpMines-Ponts 2023 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2023, filière PSI, en 3 heures. Thème : Inégalités de convexité autour du déterminant.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie 1 : questions préliminaires. Caractérisation spectrale des matrices symétriques positives et définies positives, convexité de ces ensembles, racine carrée d'une matrice définie positive et inégalité de Jensen discrète.
- Partie 2 : une première inégalité de convexité. Inégalité arithmético-géométrique Tr(M)/n >= det(M)^(1/n) et version renforcée faisant intervenir la norme de Frobenius.
- Partie 3 : on continue avec de la convexité. Réduction simultanée de deux matrices symétriques dont l'une est définie positive, inégalité de Minkowski pour det^(1/n) et concavité logarithmique du déterminant.
- Partie 4 : encore de la convexité. Expression de det(I_n + tA) par les valeurs propres et majoration de son logarithme par Tr(A)t.
- Partie 5 : et pour finir de la convexité. Développement limité de det(A + tM) et de (A + tM)^-1, dérivées première et seconde de det^(-alpha)(A + tM)/alpha en 0 et positivité de la dérivée seconde.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Dérivabilité et convexité
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.