Prepa HelpMines-Ponts 2021 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2021, filière PSI, en 3 heures. Thème : Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion et loi de Cauchy.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Questions de cours. Définition d'une variable d'espérance finie, équivalence avec l'espérance finie de |X|, et cas d'une variable bornée.
- Généralités sur les variables aléatoires. Une variable entière vérifiant la condition de dispersion n'a pas d'espérance finie ; image d'une variable symétrique par une fonction impaire et symétrie de la somme de deux variables symétriques indépendantes.
- Deux sommes de séries. Fonction définie par une intégrale à paramètre complexe, formule de Taylor avec reste intégral pour obtenir la somme des z^n/n, puis calcul des sommes des cos(n theta)/n et sin(n theta)/n.
- Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétrique. Définition, parité et continuité de t -> E(cos(tX)), transformation d'Abel sur les queues P(|X| >= n) et développement asymptotique 1 - (pi alpha/2) t + o(t) en 0+.
- Convergence simple de la suite des fonctions caractéristiques des moyennes empiriques. Fonction caractéristique d'une somme de variables indépendantes, puis convergence simple vers exp(-pi alpha |t|/2) et étude du caractère uniforme de cette convergence.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Nombres complexes et trigonométrie
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Limites et continuité
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