Mines-Ponts 2024 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2024, filière PSI, en 3 heures. Thème : Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie 1 : résultats préliminaires. Fonctions à croissance lente, intégrabilité contre la densité gaussienne, définition du semi-groupe P_t par une intégrale à paramètre, limite en l'infini et formule d'intégration par parties associée à L(f) = f'' - x f'.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Partie 2 : dérivée de P_t(f). Dérivation sous l'intégrale par rapport à t et à x, et équation de la chaleur dP_t(f)/dt = L(P_t(f)).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie 3 : inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne. Entropie relative à la gaussienne, continuité et limites de S(t) = Ent(P_t(f)), dérivée de S, inégalité de Cauchy-Schwarz et intégration en t pour obtenir Ent(f) <= (1/2) intégrale de f'^2/f contre la gaussienne.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité

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