Prepa HelpMines-Ponts 2020 PSI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2020, filière PSI, en 3 heures. Thème : Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents : théorème de Gerstenhaber.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : généralités sur les endomorphismes nilpotents. Trigonalisation sur C d'un nilpotent et traces nulles de ses puissances, espace des matrices triangulaires supérieures strictes de dimension n(n-1)/2, liberté des familles (x, u(x), ..., u^(p-1)(x)) et majoration du nilindice par n.
- Partie II : endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Isomorphisme entre E et son dual par le produit scalaire, description des endomorphismes d'image incluse dans une droite sous la forme z -> (a|z).x et calcul de leur trace.
- Partie III : deux lemmes. Pour un sous-espace nilpotent V de L(E), développement de (u + tv)^k en puissances de t, identité tr(u^k v) = 0 (lemme C) et condition suffisante pour que les éléments de V aient un vecteur propre commun (lemme D).
- Partie IV : démonstration du théorème B. Récurrence sur la dimension par projection orthogonale sur un hyperplan, décomposition de la dimension de V et choix d'un vecteur annulé par tout V, pour conclure qu'un sous-espace nilpotent de dimension maximale n(n-1)/2 est trigonalisable en matrices strictes dans une base commune.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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