Mines-Ponts 2020 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2020, filière PSI, en 3 heures. Thème : Caractérisation et exponentielle des matrices normales.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Parties I et II : question préliminaire et exemples. La similitude orthogonale est une relation d'équivalence ; vérification des conditions d'équivalence sur les matrices symétriques, antisymétriques, orthogonales et, en taille 2, sur les matrices rT avec T orthogonale.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire
• Partie III : deux premières implications. Si la transposée est un polynôme en A, alors A est normale, et une matrice normale vérifie ||tAX|| = ||AX|| pour tout X.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire
• Partie IV : la condition (C3) implique la condition (C4). Cas de la taille 2, puis sous-espaces propres communs à A et tA, deux à deux orthogonaux, condition de diagonalisabilité et réduction par blocs de taille 1 ou de type rR(theta) dans une base orthonormée.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Partie V : la condition (C4) implique la condition (C1). Polynôme d'interpolation complexe envoyant chaque z_k sur son conjugué, réalité de ce polynôme et division euclidienne par le polynôme caractéristique d'un bloc rR(theta).
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Partie VI : exponentielle d'une matrice normale. Sommes de séries en r^k cos(k theta)/k!, norme sous-multiplicative à un facteur n près, convergence de la série exponentielle, fermeture de l'ensemble des matrices normales, image de l'exponentielle et étude d'une matrice de permutation circulaire.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Espaces vectoriels normés, Nombres complexes et trigonométrie, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Compléments d'algèbre linéaire
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Nombres complexes et trigonométrie
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Séries numériques et vectorielles
• Espaces vectoriels normés

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