Mines-Ponts 2026 PSI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2026, filière PSI, en 3 heures. Thème : Probabilité qu'un entier choisi au hasard soit sans facteur à la puissance k.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie 1 : calcul de la somme des 1/(n^2 + x^2). Somme des e^(ik theta)/k par une intégrale, somme des sin(k theta)/k, fonction S somme des cos(nt)/n^2, équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par une série de fonctions et formule donnant 2 pi x/(e^(2 pi x) - 1).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie, Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Partie 2 : développement en série entière de x/(e^x - 1) et applications. Développement de x/(e^x - 1) à l'aide des valeurs zeta(2k), relation de récurrence entre les nombres de Bernoulli et calcul de zeta(2) et zeta(4).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Partie 3 : probabilité qu'un entier de [1, n] soit sans facteur à la puissance k. Développement d'un produit, formule du crible de Poincaré par les indicatrices, expression de q_n(k) avec la fonction de Möbius et convergence vers la somme des mu(d)/d^k par convergence dominée.
  À revoir : Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires, Séries numériques et vectorielles
• Partie 4 : calcul de la somme des mu(d)/d^k. Produit de Cauchy de séries de Dirichlet, somme des mu(d) sur les diviseurs, identité somme des mu(i)/i^s = 1/zeta(s) et limites de q_n(2) et q_n(4).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Nombres complexes et trigonométrie
• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs

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