Prepa HelpCentrale 2022 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2022, filière PC, en 4 heures. Thème : Matrices symétriques réelles, matrice de covariance et maximisation de la variance (analyse en composantes principales).
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : généralités sur les matrices symétriques réelles. Théorème spectral, orthodiagonalisation d'une matrice 3 x 3, matrice d'un produit scalaire intégral sur R_{n-1}[X] à valeurs propres strictement positives, rayon spectral, maximum de |U^T A U| sur la sphère unité (fermée et bornée) et égalité avec le rayon spectral pour une matrice symétrique, qui définit une norme sur S_n(R).
- Partie II : matrice de covariance. Matrice de covariance d'un vecteur aléatoire discret, symétrique à valeurs propres positives, effet d'une transformation linéaire, conservation de la variance totale ; toute matrice symétrique positive est une matrice de covariance ; noyau et image supplémentaires orthogonaux et Y - E(Y) presque sûrement dans l'image.
- Partie III : maximisation de la variance. Maximum de la variance de U^T Y sur la sphère unité égal à la plus grande valeur propre, exemple avec une matrice J et pourcentage de variance totale expliqué, puis second axe orthogonal et covariance des deux composantes.
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