Centrale 2021 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2021, filière PC, en 4 heures. Thème : Marche aléatoire sur Z, nombres de Catalan et déterminants de Hankel.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : étude d'une marche aléatoire sur Z. Espérance et variance de la position S_n via une loi binomiale, chemins de Dyck et loi du temps de premier retour à l'origine, série génératrice des nombres de Catalan vérifiant g^2 = 2g - 4t, probabilité de retour 1 - sqrt(1 - 4p(1-p)), espérance finie si et seulement si p différent de 1/2 ; expression de C_n par coefficient binomial et équivalent par la formule de Stirling.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Partie II : calcul d'un déterminant à l'aide d'un système orthogonal. Système de polynômes unitaires orthogonaux pour un produit scalaire sur R[X], unicité, matrice de passage triangulaire de déterminant 1, puis déterminant de la matrice de Gram égal au produit des carrés des normes ||V_i||^2.
• Partie III : déterminant de Hankel des nombres de Catalan. Produit scalaire défini par une intégrale à poids sur ]0, 1], polynômes U_n liés à sin((2n+1) theta) formant un système orthonormal, moments égaux aux nombres de Catalan par intégration par parties, calcul du déterminant de Hankel des C_{i+j} et d'un second déterminant de Hankel.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Nombres complexes et trigonométrie

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Nombres complexes et trigonométrie

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