Prepa HelpCentrale 2024 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2024, filière PC, en 4 heures. Thème : Racines carrées : approximations de sqrt(2), racine carrée d'une matrice symétrique positive, méthode de Newton et décomposition de Dunford.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : quelques approximations de sqrt(2). Développement en série entière de (1+x)^alpha, coefficients b_n, équivalent et convergence uniforme sur [-1, 1] donnant sqrt(2) ; méthode de Héron d'Alexandrie et comparaison des vitesses de convergence, avec un programme Python.
- Partie II : racine carrée d'une matrice symétrique positive. Racines carrées de I_2 dans O(2), existence et unicité d'une racine carrée symétrique positive, puis méthode de Héron matricielle et sa convergence.
- Partie III : méthode de Newton numérique. Convergence quadratique de la méthode de Newton par l'inégalité de Taylor-Lagrange au voisinage d'un zéro simple, puis implémentation en Python.
- Partie IV : décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford et racine carrée. Méthode de Newton matricielle stationnaire donnant une matrice diagonalisable A commutant avec M et une partie nilpotente N = M - A, racine carrée de I_q + N par un développement limité, puis racine carrée de certaines matrices réelles trigonalisables via la méthode de Héron.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Suites récurrentes
- Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Dérivabilité et convexité
- Compléments d'algèbre linéaire
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