Prepa HelpCentrale 2020 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2020, filière PC, en 4 heures. Thème : Matrices symplectiques : cas 2 x 2, matrices orthogonales et symplectiques, réduction des matrices symétriques ou antisymétriques symplectiques.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : cas des matrices de taille 2 x 2. Matrice J_n, caractérisation des matrices symplectiques de taille 2 par le déterminant égal à 1, matrices orthogonales symplectiques, diagonalisation d'une matrice symétrique symplectique dans une base orthonormée symplectique, cas antisymétrique non diagonalisable sur R.
- Partie II : matrices symplectiques et orthogonales. Forme bilinéaire phi(X,Y) = X^T J_n Y, alternée et antisymétrique, expression en coordonnées et valeurs sur la base canonique, puis description des colonnes d'une matrice orthogonale et symplectique : X_{i+n} = -J_n X_i.
- Partie III : généralités sur les matrices symplectiques. Déterminant égal à 1 ou -1, stabilité par inverse et par produit, et question de savoir si Sp_2n(R) est un sous-espace vectoriel.
- Partie IV : réduction des matrices symétriques et symplectiques. Valeurs propres lambda et 1/lambda de même multiplicité grâce à J_n, dimension paire de E_1 et de E_-1 avec base orthonormée de la forme (X_i, J_n X_i), réduction par une matrice orthogonale symplectique, puis construction explicite sur une matrice 4 x 4.
- Partie V : cas des matrices antisymétriques. Absence de valeur propre réelle, réduction de M^2, sous-espaces de dimension 2 ou 4 stables par M et J_n, décomposition de l'espace en somme directe orthogonale de tels sous-espaces avec forme réduite par blocs, application à une matrice 4 x 4.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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