Prepa HelpCentrale 2020 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2020, filière PC, en 4 heures. Thème : Fonction caractéristique d'une variable aléatoire discrète : propriétés, détermination de la loi, régularité et moments, développement en série entière.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle. Définition phi_X(t) = E(e^{itX}), expression comme somme ou série, continuité, effet d'une transformation affine, parité ; calcul pour les lois binomiale, géométrique et de Poisson ; |phi_X| <= 1 et caractérisation du cas |phi_X(t_0)| = 1 par une variable presque sûrement à valeurs dans a + (2 pi / t_0) Z.
- Partie II : la fonction caractéristique détermine la loi. Première méthode par la moyenne de phi_X(t) e^{-imt} sur [-T, T] et le sinus cardinal, d'abord pour une image finie puis dénombrable avec une série de fonctions continues ; seconde méthode par une fonction K_{a,b} de classe C^infini, la convergence de l'intégrale du sinus cardinal et la limite donnant P(a < X < b).
- Partie III : régularité de phi_X et moments. Un moment d'ordre k donne phi_X de classe C^k et E(X^k) par la dérivée k-ième en 0 ; réciproquement phi_X de classe C^2 entraîne un moment d'ordre 2, puis par récurrence C^{2k} entraîne un moment d'ordre 2k.
- Partie IV : développement en série entière de phi_X. Développement de phi_X en série entière des moments pour une image finie, puis pour une image dénombrable sous l'hypothèse E(|X|^n) = O(n^n / R^n), à l'aide d'une majoration du reste de Taylor de e^{iy}.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Nombres complexes et trigonométrie
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Dérivabilité et convexité
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.