Centrale 2025 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2025, filière PC, en 4 heures. Thème : Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques : module de continuité, noyau de Jackson, inégalité de Bernstein et fonctions höldériennes.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : préliminaires. Module de continuité omega_g(h) d'une fonction continue 2 pi-périodique, propriétés de sous-additivité, invariance de l'intégrale sur une période par translation, et opérateur de convolution sur les polynômes trigonométriques.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Dérivabilité et convexité
• Partie B : approximation uniforme par des polynômes trigonométriques. Noyau J_n construit à partir de f_n = phi_n^4, normalisation, majoration de l'intégrale de |t| J_n(t) par l'inégalité sin t >= 2t/pi, puis approximation uniforme d'une fonction de classe C^1 puis continue, avec une erreur contrôlée par le module de continuité.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Partie C : inégalité de Bernstein. Racines du polynôme X^n + 1, décomposition en éléments simples et formule pour P'(z), puis inégalité ||P'|| <= n ||P|| sur le cercle unité et ||q'|| <= 3n ||q|| pour un polynôme trigonométrique de degré n.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Espaces vectoriels normés
• Partie D : fonctions höldériennes. Exemples x^alpha et x ln x, espace des fonctions höldériennes 2 pi-périodiques et vitesse d'approximation O(1/n^alpha), puis réciproque : une vitesse d'approximation en O(1/n^alpha) entraîne le caractère alpha-höldérien.
  À revoir : Espaces vectoriels normés, Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Nombres complexes et trigonométrie
• Espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles

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