Centrale 2022 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2022, filière PC, en 4 heures. Thème : Polynômes d'interpolation de Lagrange, polynômes de Tchebychev et phénomène de Runge.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : étude de deux familles de polynômes. Polynômes de Lagrange comme base orthonormée pour un produit scalaire discret ; polynômes de Tchebychev T_n(cos theta) = cos(n theta), degré, coefficient dominant, racines, et propriété de minimalité de la norme uniforme sur [-1, 1] parmi les polynômes unitaires de degré n.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Nombres complexes et trigonométrie
• Partie II : convergence des polynômes d'interpolation pour une fonction de classe C^infini. Majoration de l'erreur d'interpolation par le théorème de Rolle, convergence uniforme pour l'exponentielle, pour x -> 1/(1+x^2) sur un petit segment et pour une somme de série entière, puis amélioration avec les points de Tchebychev.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Dérivabilité et convexité
• Partie III : phénomène de Runge. Intégrale généralisée J_alpha avec logarithmes et arctangente, limite d'une somme de Riemann, divergence d'un produit, puis non convergence des polynômes interpolateurs aux points équidistants de 1/(x^2 + alpha^2) sur [-1, 1].
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Compléments d'algèbre linéaire
• Nombres complexes et trigonométrie
• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque

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