Centrale 2024 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2024, filière PC, en 4 heures. Thème : Produits infinis : produit de Wallis, fonction définie par un produit infini, sinus comme produit infini et fonction Gamma.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : résultats préliminaires. Inégalités sur les produits finis et convergence de (1 + z/n)^n vers e^z pour z complexe.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Nombres réels et suites numériques
• Partie II : exemples de calcul de produit infini. Produits télescopiques, intégrales de Wallis et produit de Wallis, puis application probabiliste à une suite d'événements indépendants (lemme de Borel-Cantelli).
  À revoir : Nombres réels et suites numériques, Séries numériques et vectorielles
• Partie III : fonction définie par un produit infini. Convergence uniforme d'un produit de fonctions continues, continuité et non-annulation de la limite, étude de f(x) = produit des (1 - e^{-nx}) et dérivabilité sous hypothèse de classe C^1.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• Partie IV : la fonction sinus comme produit infini. Polynômes P_n de degré 2n + 1 et leurs racines, convergence simple vers le sinus, théorème de convergence par une série télescopique uniformément convergente, formule du produit infini du sinus et somme des 1/n^2.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Séries numériques et vectorielles
• Partie V : autour de la fonction Gamma. Définition et continuité de Gamma, formule de Gauss comme limite, formule des compléments Gamma(x) Gamma(1 - x) = pi / sin(pi x) et expression faisant intervenir la constante d'Euler.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Nombres réels et suites numériques
• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque

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