Centrale 2021 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2021, filière PC, en 4 heures. Thème : Formules de quadrature : noyau de Peano, polynômes orthogonaux et méthode de Gauss, accélération de la méthode des trapèzes.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : généralités sur les formules de quadrature. Ordre de formules élémentaires (rectangle, point milieu, formule à trois points), construction d'une formule exacte sur R_n[X] par les polynômes de Lagrange, noyau de Peano obtenu par la formule de Taylor avec reste intégral et majoration de l'erreur, cas de la méthode des trapèzes composée.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Partie II : polynômes orthogonaux et applications. Produit scalaire à poids sur un intervalle, polynômes orthogonaux à racines simples dans l'intérieur, méthode de Gauss d'ordre maximal 2n + 1 atteint pour les racines de p_{n+1}, puis deux exemples dont le poids 1/sqrt(1 - x^2) relié aux polynômes de Tchebychev.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Compléments d'algèbre linéaire
• Partie III : accélération de la méthode des trapèzes. Nombres b_m définis par un développement en série entière, relation de récurrence par produit de Cauchy, nullité des termes impairs, polynômes B_m avec B'_m = m B_{m-1}, puis développement asymptotique de l'erreur de la méthode des trapèzes.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Compléments d'algèbre linéaire
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles

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