Centrale 2026 PC Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2026, filière PC, en 4 heures. Thème : Introduction aux distributions : fonctions test, distributions et leurs dérivées, convergence et théorème d'unicité de Cantor.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : construction d'une fonction test. Fonction e^{-1/x} prolongée par 0, de classe C^infini avec dérivées de la forme P_n(1/x) e^{-1/x}, fonctions plateaux à support compact, suite régularisante rho_epsilon et limite de l'intégrale de rho_epsilon g vers g(0).
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie B : distributions sur R. Espace des distributions, distribution de Dirac, distribution associée à une fonction continue par morceaux et injectivité sur les fonctions continues, valeur principale de 1/x définie comme limite d'intégrales.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie C : dérivation d'une distribution. Dérivée d'une distribution, compatibilité avec la dérivée usuelle, dérivées de la valeur absolue et de la fonction de Heaviside, distributions de dérivée nulle, fonctions continues dont la dérivée au sens des distributions est nulle ou continue.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité
• Partie D : suite de distributions. Convergence d'une suite de distributions et passage à la dérivée, exemple de fonctions qui convergent au sens des distributions sans converger simplement, convergence en norme 2 qui entraîne la convergence des distributions associées.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie E : théorème d'unicité de Cantor. Une série trigonométrique qui converge vers 0 a des coefficients tendant vers 0, puis à l'aide de la dérivée seconde au sens des distributions d'une fonction auxiliaire F, on montre que F est affine, bornée puis nulle, d'où la nullité de tous les coefficients.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Nombres complexes et trigonométrie

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