Prepa HelpCentrale 2025 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2025, filière PC, en 4 heures. Thème : Un principe d'incertitude matriciel : opérateur dérivée seconde, gaussiennes et laplacien d'un graphe.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie A : autour du principe d'incertitude d'Heisenberg. Valeurs propres et sous-espaces propres de f -> -f'' sur C^infini(R, C), puis fonctions gaussiennes : transformée de Fourier définie par une intégrale à paramètre, équation différentielle du premier ordre qu'elle vérifie et relation entre dispersions temporelle et fréquentielle.
- Partie B : laplacien d'une matrice. Matrice laplacienne L_A = delta(A) - A d'une matrice symétrique à coefficients 0 ou 1, exemple, noyau contenant le vecteur constant, expression de x^T L_A x comme somme de carrés, positivité, et noyau réduit à Vect(1_N) sous une propriété de connexité (Gamma).
- Partie C : région de faisabilité et courbe d'incertitude. Spectre du laplacien d'un graphe en étoile, quotients de Rayleigh sigma_M et sigma_S^2, région de faisabilité incluse dans un rectangle, existence et convexité de la courbe d'incertitude inférieure.
- Partie D : formule explicite pour la courbe d'incertitude. Plus petite et plus grande valeurs propres de M(alpha) = D - alpha L_A, encadrement de 1 - alpha par un calcul de rang et de polynômes caractéristiques, somme des deux sous-espaces propres extrêmes, puis paramétrage trigonométrique conduisant à une formule explicite de la courbe d'incertitude.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Équations différentielles linéaires
- Intégration sur un intervalle quelconque
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