Prepa HelpCentrale 2023 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2023, filière PC, en 4 heures. Thème : Théorème de Perron-Frobenius : matrices positives, normes sous-multiplicatives et rayon spectral.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : résultats préliminaires. Inégalités sur les matrices à coefficients positifs, inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire pour les nombres complexes.
- Partie II : matrices strictement positives de M_2(R). Discriminant du polynôme caractéristique, deux valeurs propres réelles lambda < mu avec |lambda| < mu, convergence de A^k vers une matrice non nulle si et seulement si mu = 1, exemple d'une matrice stochastique et calcul de la limite.
- Partie III : normes sous-multiplicatives et rayon spectral. Exemples de normes sous-multiplicatives sur M_n(C), rayon spectral invariant par similitude, trigonalisation, rho(A) <= N(A) et approximation du rayon spectral par une norme, puis A^k tend vers 0 si et seulement si rho(A) < 1.
- Partie IV : Perron-Frobenius pour des matrices symétriques positives. Pour une matrice symétrique strictement positive, rayon spectral valeur propre simple avec vecteur propre strictement positif et seule valeur propre de module maximal, contre-exemple pour une matrice seulement positive, puis application à un théorème de Ky Fan.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Nombres complexes et trigonométrie
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Espaces vectoriels normés
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