Prepa HelpCentrale 2022 TSI Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2022, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices circulantes, transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : calculs préliminaires et coefficients de Fourier. Racines N-ièmes de l'unité et sommes associées, puis comportement asymptotique des coefficients de Fourier exponentiels d'une fonction continue 2pi-périodique.
- Partie II : diagonalisation des matrices circulantes. Étude du cas N = 3 puis du cas général : polynôme caractéristique de la matrice circulante élémentaire, vecteurs propres communs et diagonalisation de toute matrice circulante.
- Partie III : discrétisation et transformée de Fourier discrète. Approximation des coefficients de Fourier par un échantillon de taille N, définition de la transformée discrète et formule d'inversion.
- Partie IV : transformée de Fourier rapide. Algorithme qui calcule la transformée discrète en séparant indices pairs et impairs, et majoration du nombre d'opérations pour une taille puissance de 2.
- Partie V : convolution circulaire. Suite périodisée d'un échantillon, produit de convolution circulaire, transformée de la convolée et calcul rapide de celle-ci par la transformée de Fourier rapide.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Nombres complexes et trigonométrie
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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