Prepa HelpCNC 2016 PSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2016, filière PSI, en 4 heures. Thème : Projections et polynôme annulateur, trace et existence d'une matrice inversible dans tout hyperplan de M_n(R).
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Problème 1, partie I : projections. Caractérisation des projections par p o p = p. On étudie un exemple dans R^3 : éléments géométriques, diagonalisation, puis projections orthogonales sur une droite et sur un plan.
- Problème 1, partie II : endomorphisme annulé par un polynôme de degré 3. Pour f annulé par N = 4X^3 - 6X^2 + 3X - 1, on construit une base (L_1, L_2, L_3) de C_2[X] et on étudie le reste de la division euclidienne par N. La décomposition de f^n sur les L_i(f), dont les coefficients convergent, fait apparaître en limite une projection h.
- Problème 2, partie I : étude de quelques propriétés de l'application trace. Linéarité de la trace, égalité Tr(AB) = Tr(BA), dimension du noyau et décomposition de E. Étude de M -> M + Tr(M) I_n, diagonalisable, et de M -> M + Tr(M) J avec J de trace nulle, qui ne l'est pas.
- Problème 2, partie II : un premier résultat préliminaire. Isomorphisme entre un supplémentaire du noyau et l'image, puis construction de bases adaptées. Toute matrice de rang r s'écrit S J_(m,p,r) T^(-1) avec S et T inversibles.
- Problème 2, partie III : un deuxième résultat préliminaire. Pour une base de L, on construit la famille des formes coordonnées, on prouve qu'elle est libre et génératrice et on en déduit la dimension de l'espace des formes linéaires.
- Problème 2, partie IV : une caractérisation d'une forme linéaire sur E. Étude des formes phi_A : M -> Tr(AM), avec un exemple en taille 2. L'application A -> phi_A est linéaire et injective, donc un isomorphisme de E sur son dual.
- Problème 2, partie V : tout hyperplan de E contient au moins une matrice inversible. Un hyperplan s'écrit ker(phi_B). À l'aide de l'écriture de B selon son rang et d'une matrice de permutation P_1, on exhibe une matrice inversible dans cet hyperplan.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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