Prepa HelpCNC 2015 PSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2015, filière PSI, en 4 heures. Thème : Groupe SO_2(R) et non continuité de la diagonalisation des matrices d'ordre 2.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : résultats préliminaires. Caractérisation de l'ensemble U des matrices à deux valeurs propres réelles distinctes par Tr(A)^2 - 4 det A > 0, et preuve que U est un ouvert. On diagonalise continûment sur une partie de U, on détermine le commutant d'une matrice diagonale et on relie les colonnes de P aux vecteurs propres de M.
- 2ème partie : quelques propriétés du groupe spécial orthogonal en dimension 2. Description de SO_2(R), structure de sous-groupe de GL_2(R) et paramétrage continu par les rotations. On établit la continuité de la transposition, de l'inverse et de la conjugaison sur SO_2(R), puis qu'une application continue sur S_A à valeurs dans deux matrices est constante.
- 3ème partie : non continuité de la diagonalisation dans tout l'ouvert U. On suppose qu'une diagonalisation continue existe sur U. Sur les matrices symétriques, on la normalise en une application g à valeurs dans SO_2(R), on établit une bijection entre SO_2(R) et S_B x {-I_2, I_2}, et une fonction continue qui ne prend que les valeurs -2 et 2 fournit la contradiction.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Espaces vectoriels normés
- Structures algébriques usuelles
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