CNC 2017 PSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2017, filière PSI, en 4 heures. Thème : Exponentielle de matrices et applications, endomorphismes orthogonaux et distance à un hyperplan.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : exemple. Diagonalisation d'une famille de matrices A(t) d'ordre 2, inverse et puissances. On calcule exp(A(t)) par passage à la matrice diagonale, on l'écrit e.J + e^(1/t).K et on en déduit les règles de calcul, dont l'inverse et les puissances entières.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Séries numériques et vectorielles
• Problème 1, partie II : exponentielle de la matrice A_a. A_a est nilpotente, donc exp(A_a) est une somme finie dont on donne la matrice. On étudie E_a(t), somme des t^k A_a^k/k! : relation E_a(s + t) = E_a(s) E_a(t), inverse, puissances et injectivité de t -> E_a(t), puis résolution d'une équation.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Séries numériques et vectorielles, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Problème 1, partie III : applications. Calcul explicite de trois suites récurrentes couplées à l'aide de E_a, puis limite de C_n^n pour une suite de matrices d'ordre 2 écrites comme multiples de rotations. Résolution d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 par diagonalisation, comparée à la solution par l'exponentielle.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Équations différentielles linéaires, Espaces vectoriels normés
• Problème 2, partie I : quelques propriétés d'un endomorphisme orthogonal. Bijectivité, spectre réel inclus dans {-1, 1}, conservation du produit scalaire, images des bases orthonormées et lien avec les matrices orthogonales. Si f est orthogonal, f + f^(-1) est symétrique, ce qui donne un sous-espace stable de dimension 1 ou 2 et la stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire
• Problème 2, partie II : distance à un sous espace vectoriel. Sur R_(m-1)[X] muni du produit scalaire intégral de poids e^(-t), l'ensemble F des polynômes nuls en 0 est un hyperplan. L'orthonormalisée de Schmidt (P_k) vérifie P_k(0)^2 = 1 et donne un vecteur normal à F. On exprime la projection orthogonale sur F, on en déduit une symétrie orthogonale et la distance de 1 à F, égale à 1/racine(m).
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Séries numériques et vectorielles
• Compléments d'algèbre linéaire
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Équations différentielles linéaires
• Espaces vectoriels normés
• Intégration sur un intervalle quelconque

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