CNC 2015 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2015, filière PSI, en 4 heures. Thème : Intégrale de Dirichlet, fonction définie par une intégrale et problème de Dirichlet discret sur Z^2.

Lire le sujet 5 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (1,7 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, 1ère partie : convergence et calcul de l'intégrale de sin(t)/t. Convergence de l'intégrale de sin(t)/t sur ]0, +infini[ par intégration par parties, somme des cos(kt) et calcul d'une intégrale auxiliaire. Un lemme de type Riemann-Lebesgue, obtenu par intégration par parties sur une fonction de classe C^1, donne la valeur pi/2.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres complexes et trigonométrie
• Problème 1, 2ème partie : application à l'étude d'une fonction. Étude de f(x), intégrale de sin(xt)/(1+t) sur [0, +infini[ : parité, développement en +infini, stricte décroissance et classe C^1 sur ]0, +infini[. On établit la limite pi/2 en 0+, la tangente verticale à droite, l'allure de la courbe et l'intégrabilité de f^2.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité
• Problème 2, 1ère partie : fonctions harmoniques sur le graphe Z^d. Pour d = 1, une fonction harmonique vérifie une récurrence linéaire d'ordre 2, d'où un espace de dimension 2 sur Z et de dimension 4 sur Z*. En dimension d quelconque, on compare les valeurs d'une fonction positive harmonique entre deux points et on en déduit qu'elle est nulle dès qu'elle s'annule une fois.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Nombres réels et suites numériques
• Problème 2, 2ème partie : problème de Dirichlet sur le graphe Z^2. Marche aléatoire symétrique sur Z^2 : le mobile atteint presque sûrement le bord de la boule discrète de rayon nu, et on étudie le temps d'atteinte T_a. La fonction f(a) = E(phi(a + Y_Ta)) prolonge phi donnée sur le bord et on prouve qu'elle est harmonique à l'intérieur.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres complexes et trigonométrie
• Dérivabilité et convexité
• Compléments d'algèbre linéaire
• Nombres réels et suites numériques

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.